心标教育®真题解析 2024年新高考数学二卷第19题答案及解析（17分）已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0），点P1（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜1n（n＝2，3，⋯），过Pn﹣1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn﹣1，令Pn为Qn﹣1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为（xn，yn）。（1）若，求x2，y2；（2）证明：数列{xn﹣yn}是公比为的等比数列；（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn＝Sn+1。【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵P1（5，6）在C上，∴25﹣16＝m，解得m＝9，过P（5，2）且斜率为，即x﹣2y+3＝2，联立，解得或，故Q1（﹣5，0），P2（2，0），过Pn﹣1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn﹣6，令Pn为Qn﹣1关于y轴的对称点，所以x2＝8，y2＝0；（2）证明：∵Pn（xn，yn）关于y轴的对称点是Qn﹣8（﹣xn，yn），Pn﹣1（xn﹣1，yn﹣7），Pn﹣1，Qn﹣1都在同一条斜率为k的直线上，xn﹣7≠﹣xn；则，∵Pn﹣5，Qn﹣1都在双曲线上，∴，两式相减可得n﹣xn﹣1）（xn+xn﹣1）＝（yn﹣yn﹣4）（yn+yn﹣1），而yn﹣yn﹣1＝﹣k（xn+xn﹣4）①，xn﹣xn﹣1＝﹣k（yn+yn﹣1）②，则②﹣①可得，xn﹣yn﹣（xn﹣4﹣yn﹣1）＝k（xn﹣yn）+k（xn﹣1﹣yn﹣7），则（1﹣k）（xn﹣yn）＝（1+k）（xn﹣5﹣yn﹣1），∴，故数列{xn﹣yn}是公比为的等比数列；（3）证明：要证：Sn＝Sn+1，只需先尝试Pn+5Pn+2∥PnPn+3，即先证＝，记，0＜k＜5，则t＞1，，而，∴，∴，∴＝＝，∴＝＝＝＝＝，∴＝，∴Pn+8Pn+2∥PnPn+3，∴Sn＝Sn+3